【VERDAD】2月合集
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Jan 31, 2023
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随着欧洲经济企稳, values spread 的均值回复可能正在开始 | 波动率系列
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After the Darkest Hour Comes the DawnWe Measure What We Can我们相信波动性是系统可预测的风险吞噬回报Do Stocks Always Outperform Bonds?
After the Darkest Hour Comes the Dawn
小盘价值股通常在恐惧时超卖，并在结束时飙升，过去的一年也不例外：
European Valuation Spreads（1975-2022）
value rotation witnessed in the US and Japan in 2022 is only just beginning in Europe..
We Measure What We Can
学术金融界有一个共同的想法，但遭到逆向投资者和流行文化的明显驳斥：历史波动性是未来风险的良好指标。这个想法在《追加保证金通知》（Margin Call）和《大空头》（The Big Short）等广受好评的电影中受到嘲笑，并且在MBA课程和本科金融课程中经常引起争议。“使用波动性作为风险的衡量标准是疯狂的，”查理芒格说，这句话在全国各地的MBA教室里得到了回应。“我们面临的风险是1）资本永久损失的风险，或2）回报不足的风险。芒格并不是唯一一个有这种想法的投资者。2007年，纳西姆·塔勒布（Nassim Taleb）的《黑天鹅》（The Black Swan）一书对使用历史数据预测风险的整个做法提出了质疑。对塔勒布来说，重要的风险是考虑到可以计算出的东西后剩下的东西——真正的风险是火鸡的第一个感恩节，GameStop的短暂挤压，严酷的提醒，归纳不是证据。真正的风险是无法衡量的，只能得到尊重。但我们认为，尽管有这些慷慨激昂的批评，波动性作为衡量风险的指标有三点优势 ：
- 波动性与投资者直观关心的风险密切相关，例如回撤和违约。
- 波动性通常可以从历史数据中估计，比大多数其他提议的风险指标要准确得多。
- 波动率在时间序列上自身相关，包括短期（在给定资产类别内）和长期（跨资产类别）。
冒着激起某个黎巴嫩举重运动员愤怒的风险，我们认为波动性措施可以显着改善长期投资决策。让我们考虑支持学术波动性指标的每个关键论点。1. 波动性与投资者直观关心的风险相关首先，我们认为波动率是投资者似乎关心的风险的可靠相关性。芒格说，对他来说重要的是资本损失，但从历史上看，波动性更大的资产的回撤要大得多。
比较以下两个表格，显示主要资产类别在两个时间段内（1990年至2005年，以及2005年至今）的年化回报波动性和最大回撤：
图1：回报波动率，主要资产类别的最大回撤，1990-2023
在这两个时间段内，波动率和回撤在各个资产类别中高度相关，第一个时期的波动率是下一个时期波动性的良好预测指标。
我们看到企业信贷违约率也有类似的模式，从1988年到2022年，风险较高的债券表现出更大的回报波动性和更高的违约率。如果您最担心资本损失，我们认为波动性是信贷资本真实损失的良好预测指标。
现在，波动率与回撤或违约之间的关系确实并不完美。例如，10年期国债在上述两个时期的波动率一直很高，但在过去两年中，它们实现了三十多年来最严重的跌幅——超过17%。在1990年至2005年期间，没有发生过这样的事情，无论是过去的回撤还是过去的波动都无助于预测这一点。但这并不是对波动性的控诉。这是对投资组合可能采取的路径的不可简化随机性的承认。
2. 波动率可以使用历史数据
为了更好地理解波动率和回撤估计器的精度，我们将使用蒙特卡罗方法：一种旨在研究随机系统行为的模拟。作为一项实验，我们定义了模拟杠杆股票投资组合的回报分布每周回报的概率分布，并将肥尾和负偏度加入了考虑。
这是一个高度简化的问题。真实的回报分布不是静态的，我们使用的分布虽然不是正常的钟形曲线，但在我们看来仍然比许多现实世界的回报分布更“表现良好”。但即使在这些理想化的条件下，我们也会看到通过回撤来估计风险的实质性困难。
通过构造，这种产生回报过程的真实年化夏普比率为0.71。为了了解回报、波动率和回撤估计器的稳健性，我们模拟了 10 年的每周数据 10，000 次并分析了结果。
跟踪该策略十年，我们将获得对其波动性的高精度估计，但我们仍然会对其平均回报进行嘈杂的估计，并在已实现的回撤中存在较大的四分位数差异。完全相同的投资策略，在完全相同的市场环境中，以十多年的衡量标准，很容易产生超过15个百分点的最大回撤。这种变化完全是由于偶然。
除了样本最大回撤的较大点差外，还有其他更微妙的问题。最大回撤必然随着样本长度的增加而增加。给定策略考虑的历史样本越长，最大回撤特别大的时间就越长。但这并没有说明该策略的风险。更糟糕的是，给定策略的已实现回撤往往与样本均值相关。如果一个人在回撤方面运气不好，平均回报也可能是不利的。当人们试图权衡风险估计和回报估计时，这就会成为一个问题。估计误差复合。
投资者可能关心回撤，但回撤可能不是投资者所承担风险的良好指标：它们变化太大，除了随机性之外，根本没有任何原因。但波动性作为一个指标是非常精确的。已实现的历史波动率（Realized historical volatility）通常是人们应该提前知晓的真实波动率的代理变量。这就是为什么尽管存在明显的局限性，但均值方差思维在整个21世纪一直存在于金融业：它试图捕捉到的东西，捕捉得很好。
为什么波动率可以如此准确地估计？1980年，诺贝尔奖获得者罗伯特·默顿（Robert Merton）写了一篇题为《估计市场预期回报》（On Estimateimating the Expected Return on the Market
）的开创性论文，他认为，如果检查频率更高的数据，波动性估计会变得更加精确，而平均估计则不会。人们可以通过更高频的地抽样回报数据来预测“更多的波动性”，从而增加有效样本量。
也许我们的读者确信回撤是一个糟糕的风险指标，但仍然认为只有损失才应该被视为风险（我们
过去一直认为这一点）。半波动率是一个指标，仅包括低于某个阈值（通常为零）的回报波动率。问题在于，当一个策略波动很大并且碰巧靠纯粹的运气获胜时，特别是在回测中，人们看不到的损失。大胆下注和输掉的开发策略被丢弃；做同样事情的基金往往会离开这个行业。如果一种策略有可能获得意外利润，人们应该期望它要么遭受巨大损失，要么平均亏损。这不是铁律，但构建一个可以在任一方向上经历大幅波动的策略肯定比只向上摆动的策略容易得多。
因此，我们认为，已实现的上行波动率（realized volatility to the upside）通常是已实现下行波动率（ealized volatility to the downside）的潜在证据。
我们相信波动性是系统可预测的
所以现在我们知道波动性与资本损失指标相关，并且与资本损失不同AL 指标，例如回撤，可以以稳健的方式进行估计。这就引出了我们对波动性的最终主张：它是系统可预测的。
2003年，罗伯特·恩格尔（Robert Engle）因一个简单的观察而获得诺贝尔经济学奖：回报波动率趋于自相关并在时间上聚集，这意味着统计模型可以利用跟踪已实现波动率来预测未来的波动率。
我们相信上面的说法，原因有很多：
首先，当世界上发生极端事件时，投资者之间的预期往往会有所不同，这会导致交易和波动，因为市场消化了新闻并平衡。但这个过程不是瞬间的。因此，如果人们目睹市场出现波动，那么很可能这一轮波动尚未结束。波动性需要时间才能发挥作用。
其次，资产回报取决于投资者如何应对过去的回报。例如，如果投资者遭受大规模回撤，他可能会收到追加保证金通知并被迫清算他的头寸。通过这种方式，金融波动往往会导致进一步的波动。
最后，现实世界中的极端事件本身是自相关的。如果发生战争或饥荒，政治动荡的可能性更大。地震会导致停电，进而减少经济产出。世界是脆弱的，是相互联系的。
为了帮助可视化这种关系，我们构建了标准普尔500指数一个月实际波动率的散点图，与1988年至2022年的上个月实际波动率进行了衡量。
可以看到，过去和未来波动之间的关系已经持续了几十年。
波动性是一个有用的指标，但如果以简单的方式使用它，它可能弊大于利。我们将提出一个框架，用于思考未来的所谓“高阶风险”。尽管有其局限性，但我们认为波动性是投资者可以使用的最佳风险指标之一，既可以衡量过去的风险调整后业绩，也可以作为驾驭未来的前瞻性工具。
风险吞噬回报
风险管理如何改善长期投资组合成果
凯利准则的公式提供了一条最大化长期复利率的途径。凯利标准指出，投资者应选择对风险资产的净敞口，以最大化其对数财富的预期价值。因此，这也被称为“增长最优”投资组合。在连续时间金融的背景下，预期对数财富的最大化是通过将财富投资于风险资产的一小部分μ/σ2（预期未来超额回报（μ）除以预期未来方差（σ2）来实现最大化的。
要理解通过波动性平方减少风险敞口背后的直觉，首先考虑一个投资者，他的投资组合一个月回报率为 25%，下个月回报率为 500%。最终投资组合并不平坦：投资者损失了64%的初始投资，即使这两个时期的平均回报为零。现在考虑一个投资者，他的投资组合在下跌相同金额之前上涨了 2%。该投资者相对于他的起点只会损失500个基点。因此，如果我们将回报波动（波动性）的幅度缩小两倍，那么可归因于波动性的损失幅度就会下降四倍。这就是为什么我们认为风险资产的最佳敞口会随着预期波动率的平方而下降。
SP500 月度波动率预测
我们如何应用这些想法？在上一篇文章中，我们认为可以使用追踪波动率来预测未来的波动率（从历史上看，一个月远期标准普尔1指数的波动率与一个月的追踪波动率相关率为500%，而未来回报率与追踪波动率的相关性仅为1988%）。因此，作为起点，我们将标准普尔2022指数的回报率分为四个四分位数，并根据提前知道每个四分位数的远期回报和波动率，计算出凯利杠杆率。
波动性的影响不是线性的。在波动性最低的四分位数中，该公式建议标准普尔250指数的投资组合权重约为500%，而在最低的四分位数中，该公式仅建议约50%的敞口。
标准普尔500指数的波动性随着时间的推移而显着变化。我们采用了标准普尔500指数过去30年的每日回报率，并建立了一个简单的模型来估计波动率，主要基于上个月的实际波动率。在下图中，我们显示了模型的月前波动率预测。预测波动率的长期基线约为15%，但在2008年和2020年的危机期间飙升。
然后，我们通过仅根据跟踪的实际波动率和无风险利率来改变对标准普尔 500 指数的敞口，对凯利准则逻辑进行简单测试（有关详细信息，请参阅技术附录）。我们假设我们以无风险利率借贷，正负50个基点的利差，我们在所有再平衡交易中支付10个基点的交易成本。下面，我们绘制了动态杠杆标准普尔500指数策略相对于无杠杆静态标准普尔500指数回报序列的累积表现。
与将标准普尔500指数保持在静态敞口相比，这种动态策略具有更低的波动性，较高的复合年增长率，更高的夏普比率和更小的最大回撤。
对于已经对14.9%的年化波动率感到满意并希望专注于复合年增长率的投资者，我们的研究发现，利用这种动态策略使其与标准普尔500指数的波动性相匹配，复合年增长率为11.6%，远远超过标准普尔500指数9.8%的复合年增长率。
我们不是唯一得出这些结论的研究人员。罗切斯特大学和加州大学洛杉矶分校的学者最近在《金融杂志》上发表的一篇论文《波动率管理投资组合》也得出结论，方差缩放可以提高复合回报，同时降低风险。
我们认为，这种策略最好的部分是预测波动性比预测超额回报要容易得多，而超额回报对于标准普尔500指数来说，每月几乎是不可能的。波动性管理投资组合的超额回报和提高的夏普比率不需要交易对手亏损，这意味着这些收益不太可能被竞争。尽管如此，凯利杠杆最终仍然是关于避险的。具有10年投资期限或任何其他固定有限期限的高度风险承受能力的投资者，并希望接近最大化其投资组合的预期价值，可能会选择比凯利标准建议的更积极的赌注。保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）在1979年的一篇论文中提出了这一点，我们将引用其单音节清晰度：“清楚就是要被发现。要知道，生活不是一场当你击败双胞胎时净赌注为一的游戏，当你不击败双胞胎时，净赌注为零。十胜不等于赢两场。损失两个也不等于损失三个。你赢了多少就算数。你损失了多少。我们相信萨缪尔森是对的。但即使对于风险承受能力强的投资者来说，方差扩展的好处也会持续存在。我们相信，凯利不够激进的投资者仍将通过减少风险敞口，在给定的预期波动率水平下获得更好的结果——更好的复合年增长率，更好的预期回报。凯利思维唯一无法提供的投资者是真正风险中性的投资者：对风险漠不关心的投资者。这位投资者愿意付出任何代价来玩圣彼得堡悖论。他是一个在现实世界中不存在的投资者，一个在现实世界中不可能存在的投资者，一个只停留在数学形式领域的幽灵，在赌场赌博，那里涉及向上箭头符号的财富水平被视为明智和理智。他在数学上横行霸道。甚至山姆·班克曼-弗里德（Sam Bankman-Fried）也不是这个投资者（他有足够的避险情绪持续几年，然后就崩溃了），当然你也不是。在现实世界中，对于真实的人，在现实的视野上进行投资，凯利思维可以为理性的投资者提供很多东西，即使敞口水平必须根据个人风险偏好量身定制。
技术附录和常见问题解答问：告诉我更多关于凯利准则的信息。你能证明μ / σ2是最大化预期对数财富的比率吗？一个：是的。考虑一个包含两种资产的投资组合，一种是提供预期超额回报的风险资产，μ具有波动性σ，另一种是提供 r 的无风险资产。让风险资产在时间 t 、St 的价格对数正态分布并遵循几何布朗运动过程。 S t 的价格由以下等式给出，其中 W t 是均值为零且方差为 t 的随机变量：